[- ω - [pk]] =

 [- ω - [pk]] [- ]] =

Série de Fourier[editar | editar código-fonte]

É evidente a partir da definição da própria função que o Pente de Dirac ${\displaystyle {comb}_{T}(x)}$ é periódico com período ${\displaystyle T}$. De modo que:

${\displaystyle {comb}_{T}(x+T)\;=\;{comb}_{T}(x)}$ [- ω - [pk]] [- ]]  [ -  ${\displaystyle ,\forall \;x}$.

A Série de Fourier da função na forma exponencial é do tipo:

${\displaystyle {comb}_{T}(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{2\pi in{\frac {x}{T}}}\ }$ [- ω - [pk]] [- ]]  [- 

cujos coeficientes de Fourier, ${\displaystyle {c}_{n}}$ são:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}\,&={\frac {1}{T}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+T}{comb}_{T}(x)e^{-2\pi in{\frac {x}{T}}}\,dx\quad (-\infty <x_{0}<+\infty )\\[4pt]&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{comb}_{T}(x)e^{-2\pi in{\frac {x}{T}}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (x)e^{-2\pi in{\frac {x}{T}}}\,dx\\&={\frac {1}{T}}e^{-2\pi in{\frac {0}{T}}}\\[4pt]&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$ [- ω - [pk]] [- ]] [-

 [- ω - [pk]] [- ] [ - 

Série de Fourier[editar | editar código-fonte]

É evidente a partir da definição da própria função que o Pente de Dirac ${\displaystyle {comb}_{T}(x)}$ é periódico com período ${\displaystyle T}$. De modo que:

${\displaystyle {comb}_{T}(x+T)\;=\;{comb}_{T}(x)}$ ${\displaystyle ,\forall \;x}$.

A Série de Fourier da função na forma exponencial é do tipo:

${\displaystyle {comb}_{T}(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{2\pi in{\frac {x}{T}}}\ }$

cujos coeficientes de Fourier, ${\displaystyle {c}_{n}}$ são:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}\,&={\frac {1}{T}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+T}{comb}_{T}(x)e^{-2\pi in{\frac {x}{T}}}\,dx\quad (-\infty <x_{0}<+\infty )\\[4pt]&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{comb}_{T}(x)e^{-2\pi in{\frac {x}{T}}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (x)e^{-2\pi in{\frac {x}{T}}}\,dx\\&={\frac {1}{T}}e^{-2\pi in{\frac {0}{T}}}\\[4pt]&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$

Logo, todos os coeficientes são iguais a ${\displaystyle \;\;{\frac {1}{T}}\;\;}$ e sua representação em Série de Fourier é:

${\displaystyle {comb}_{T}(x)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi in{\frac {x}{T}}}\;\;\;\;\;(3i)}$

p  = progressão e k = variável complexa.

.

A função delta de Dirac como limite ( no sentido de distribuição ) da sequência da distribuição normal com centro em zero. ${\displaystyle \delta _{a}(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {\pi }}a}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}$